Сергей Березин — воспитанник воскресенского хоккея. За подмосковный «Химик» он стал выступать на взрослом уровне в 1990 году. Начало профессиональной карьеры было непростым, поскольку результативность хоккеиста была низкой, но постепенно он улучшал качество игры и статистику. Четырехлетний период в Воскресенске он провел по графику «плюс-минус пол-очка за игру», что было неплохо, особенно для молодого хоккеиста — 76 очков в 156 матчах.
Тренер сборной России Виктор Тихонов взял Березина на Олимпийские игры в Лиллехаммере в 1994 году. Национальная команда не смогла выиграть медали, однако форвард набрал пять очков в восьми матчах. Примечательно, что через год на чемпионате мира в Швеции Березин сделал первый в истории сборной России хет-трик, отправив три шайбы в ворота Швейцарии. Однако и тогда россиянам не удалось подняться на пьедестал. А на Кубке мира 1996 года, где Березин тоже выступал, сборная России стала четвертой.
Летом 1994 года на драфте НХЛ его забрал «Торонто» в одном из последних раундов — 10-й раунд и общий 256-й номер. Самым востребованным россиянином тогда был Олег Твердовский, выбранный в первом раунде под общим вторым номером «Анахаймом».
До работы в НХЛ форвард выступал в Германии, где отыграл два года как центрфорвард за «Кёльнер Хайе» и набрал 184 очка в 120 матчах. В сезоне 1994/95 он забрал все престижнейшие индивидуальные награды немецкого первенства — от лучшего бомбардира до лучшего игрока лиги. Снайперский рекорд форварда в Бундеслиге, 49 голов за регулярный чемпионат, не побит до сих пор.
Карьера Березина в НХЛ началась в 1996 году и тоже складывалась удачно. В своем первом сезоне в НХЛ он забросил 25 шайб, набрав 41 очко в 73 играх. По итогам игрового года его включили в пятерку лучших новичков лиги. Высокая стартовая скорость отличала его от многих хоккеистов. Березина сравнивали с другим российским хоккеистом Павлом Буре, обладавшим фантастической скоростью.
Всего в НХЛ нападающий провел семь сезонов — пять в «Торонто», который в четверг и сообщил о смерти Березина, а еще два сезона разбились на четыре команды — «Финикс Койотс», «Монреаль Канадиенс», «Чикаго Блэкхокс» и «Вашингтон Кэпиталз». В сумме спортсмен сыграл 502 матча в НХЛ и набрал 286 (160 шайб + 126 результативных передач) очков.
Березин завершил спортивную карьеру в ЦСКА в 2004 году. После этого он решил заняться бизнесом, но не преуспел. В 2015 году во Флориде его арестовали по обвинению в махинациях с медицинскими страховками, россиянину грозил срок в американской тюрьме, но в итоге его отпустили.
Березин также был индивидуальным тренером, в частности, работал с в бывшим партнером по «Монреалю» Андреем Марковым и свежим обладателем Кубка Стэнли капитаном «Флорида Пантерз» Александром Барковым.