Абельцев родился в Люберцах Московской области, окончил Московское высшее общевойсковое командное училище им. Верховного Совета РСФСР. В 1993 г. был избран депутатом Госдумы РФ. Занимал пост главы подкомитета по борьбе с преступностью и коррупцией. Являлся депутатом Государственной думы I, II, IV, V созывов, четырежды избирался от ЛДПР. В прошлом также был членом высшего совета ЛДПР и заместителем бывшего лидера партии Владимира Жириновского.