Быстров родился 12 февраля 1945 г. Он окончил Школу-студию МХАТ, играл в спектаклях: «Балы и страсти Петербурга», «Невольницы», «Измена», «Как любил я Вас!», «Хищница», снимался в фильмах и сериалах «ТАСС уполномочен заявить…», «Короли игры», «По следу телеграфа». Быстров также озвучивал персонажей мультфильмов и сериалов. Он известен по озвучке Гомера Симпсона в «Симпсонах», героев «Футурамы», Альфреда в трилогии «Темный рыцарь», Императора Палпатина в «Звездных войнах», Магнето в «Людях Икс» и других.